Elemente de geometrie fractala

Istoria fractalilor nu este lungă. A început brusc, în 1975, cu lucrarea revoluţionară a matematicianului Benoit Mandelbrot, "O teorie a seriilor fractale", care mai târziu a devenit cartea sa manifest "Geometria fractală a naturii". Mandelbrot a inventat cuvântul "fractal" pentru a reuni munca multora dinaintea sa. 

      Primii fractali

        Matematicieni ca Waclaw Sierpinski, David Hilbert, George Cantor şi Helge von Koch au creat primii fractali, în general ca exerciţii abstracte, neavînd nici o idee despre semnificaţia lor. Mulţi dintre ei considerau aceste forme patologice, dizgraţioase sau chiar dezgustătoare. Ce şocaţi ar fi acum să afle că sunt mai cunoscuţi tocmai prin acele forme care i-au îngrozit mai mult. Câţiva dintre aceşti pionieri aveau motive întemeiate pentru dezgustul lor, pentru aceste "aberaţii" geometrice. Ei au simţit că descoperiseră ceva ce sfida şi ameninţa câteva din convingerile cele mai preţioase. O evaluare ulterioară ne arată că perioada lor (aproximativ 1875-1925) era de fapt o perioadă de criză în matematică. Iar şi iar, matematicienii dădeau peste forme bizare care intrau în contradicţie cu viziunea lor despre spaţiu, suprafaţă, distanţă şi dimensiune. 

                Definiţia fractalilor

        În 1982, Mandelbrot şi-a extins două eseuri anterioare, creînd lucrarea deschizătoare de drumuri "Geometria fractală a naturii". El a inventat cuvântul "fractal" (din latinescul "frangere" care înseamnă "a sparge în fragmente neregulate"), astfel încât inversele forme au putut fi unificate sub un singur nume. Pentru a fi clasificată oficial ca fractal, o formă trebuie să aibă dimensiunea Hausdorff-Besicovitch mai mare decât dimensiunea sa topologică tradiţională. Pe scurt, fractalii sunt toate acele ciudăţenii care umplu spaţiul şi pe care matematicienii le abandonaseră ca fiind dezarmant de complexe. Mandelbrot nota patetic: "deoarece cuvântul algebra derivă din cuvântul arab jabara (a lega împreună), între cuvintele fractal şi algebră este o contradicţie etimologică". 

                Geometria fractală

        Benoit Mandelbrot şi-a întemeiat geometria fractală bazându-se în principal pe simularea sa încununată de succes a tendinţei preţurilor bunurilor de consum, iar analiza pieţii rămâne una din cele mai atrăgătoare aplicaţii ale geometriei fractale. Piatra Filosofică a oricărui analist al pieţii este, desigur, să precizeze comportarea preţurilor cu destulă exactitate pentru a se umple de bani cât mai repede. Dacă cineva a pus mâna pe aceasta Piatră, probabil că îşi foloseşte câteva din miliardele sale pentru a-şi apăra secretul. În domeniul pieţii, ca şi în alte domenii în care fractalii şi haosul dau rezultatele, rareori se dovedesc atât de folositori pentru prezicere, pe cât sunt pentru simulare. 

                Simularea fractală

        Simularea fractală poate modela şi prezice natura general statistică a unui sistem, fără să-i prevadă comportarea specifică într-un anumit moment. De exemplu, simulările din 1953 ale lui Mandelbrot asupra preţului bumbacului continuau sa prezică cu exactitate cantitatea de variaţie din preţul bumbacului, atât lunară cât şi anuală. Totuşi, ele nici măcar nu pot pretinde cât ne indică preţul bumbacului în 2002.

https://www.youtube.com/watch?v=u6IUMEfV6pY

Caracteristicile unui fractal

• Fractalul, ca obiect geometric, are în general următoarele caracteristici: 
• Are o structură fină la scări arbitrar de mici. 
• Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian tradiţional. 
• Este autosimilar (măcar aproximativ sau stochastic). 
• Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică (deşi această cerinţă nu este îndeplinită de curbele Hilbert). 
• Are o definiţie simplă şi recursivă. 

Deoarece par identici la orice nivel de magnificare, fractalii sunt de obicei consideraţi ca fiind infinit complecşi (în termeni informali). Printre obiectele naturale care aproximează fractalii până la un anumit nivel se numără norii, lanţurile montane, arcele de fulger, liniile de coastă şi fulgii de zăpadă. Totuşi, nu toate obiectele autosimilare sunt fractali—de exemplu, linia reală (o linie dreaptă Euclidiană) este autosimilară, dar nu îndeplineşte celelalte caracteristici. 

Fractalii se afla peste tot in jurul nostru, luand forma unui lant muntos sau se regasesc in unduirea liniei de tarm. Ca si formatiunile noroase si focurile licarind, unii fractali sufera schimbari continue, in timp ce altii, cum ar fi copacii sau sistemul vascular omenesc retin structura pe care au capatat-o in evolutia lor. Conceptul matematic de fractal caracterizeaza obiecte cu o diversa gama de structura si care astfel reflecta principiul ierarhic de organizare.. Obiectele fractale nu isi schimba forma in mod semnificativ cand sunt observate la microscop. Mandelbrot a gasit in 1980 un principiu ce organizeaza un intreg univers de structuri asemanatoare cu intregul intr-o maniera neasteptata.

Tipuri de fractali

Dupa aparitia termenului de fractal s-a produs o adevarata frenezie in explorarea diverselor fenomene din perspectiva fractalilor, dar si gasirea celor mai spectaculosi si aratosi fractali. 
Iterated Function System (IFS) 
 Sunt generati pornind de la o forma asupra careia aplicam in mod repetat acelasi procedeu.
De exemplu: 
1.Luati un triunghi echilateral plin. 
2.Uniti mijlocul laturilor triungiului. Astfel veti imparti triunghiul mare in 4 triunghiuri mici. Eliminati mijlocul (zona va ramane alba) 
 3.Continuati la infinit acelasi procedeu pentru restul de 3 triunghiuri mici ramase si pentru noile triunghiuri generate Sunt numeroase forme, unele foarte spectaculoase, rezultatul depinzand de imaginatia noastra. Evident, sunt programe specializate, carora le specificam forma initiala (triunghi, cerc, linie, etc) si metoda (elimina treimea medie si procedeaza la fel cu ce a ramas, etc) iar soft-ul ne arata rezultatul. 

O feriga care nu este chiar feriga. Privind o frunza de feriga reala observam cum ramificatiile principale seamana foartefoarte mult cu cele secundare si tertiare. Fractalul de mai sus surprinde acest aspect.

Determinism si predictibilitate , impredictibilitate. Comportamenul haotic.Conditii

In jurul nostru abunda exemplele de fenomene care se pot explica in cadrul unei conceptii deterministe.Dar, nimeni nu accepta existenta unui determinist universal, in sensul ca tot adeptii determinismului sunt de acord ca nu totul in natura este predictibil .

                Pentru aprofundarea acestei idei sa ne imaginam ca avem la dispozitie un mecanism determinist, perfect reglat si in principiu predictibil, cum ar fi un ceas, pe care il asezam in varful unui munte sau in orice alt loc izolat, astfel incat momentul pornirii sale (conditiile initiale) devine inaccesibil.In acest mod, absolute banal, indicatia ceasului devine pentru noi impredictibila, fara a putea afirma insa ca sistemul (ceasul) are o comportare nedeterminista .

                Astfel putem afirma ca unele fenomene fizice respecte legi deterministe fara a fi predictibile.

                Natura este plina de miracole si mistere , este complexa si singura prevedere pe care o putem face asupra a ce va urma este ca este impredictibila.

                Pe baza celor expuse putem afirma ca exista multe fenomene fizice guvernate de legi deterministe, care in principiu ar trebui sa se desfasoare intr-o maniera predictibila, dar care in practica devin impredictibile datorita sensibilitatii lor la conditiile initiale . Cu alte cuvinte o variatie mica a conditiilor initiale ale unui  system determina o modificare majora a evolutiei in timp a acestuia care este impredictibila. Exemplu oferit de John Briggs: “ Caldura degajata de capota unui automobile sau vantul produs de aripile unui tnatar in Madagascar, aproape orice element apparent nesimnificativ si neinclus in rezultatul masuratorilor effectuate de un meteorolog poate fi sufficient pentru a schimba comportamentul sistemului meteorologic din Londra” (anul 1992).

                Chiar si sistemele simple ai caror parametrii sunt definiti clar pot avea o comportare haotica.Un system haotic genereaza cu ajutorul unei reguli pur deterministe o comportare apparent complet intamplatoare . 

Haosul determinist este sensibil la conditiile initiale astfel sau variatia minora a parametrilor unei stari poate conduce rapid la trecerea intr-o alta stare foarte mult diferita de precedenta. Sistemul haotic este local instabil si permite variatii mici ale parametrilor sai care pot determina variatii mari oriunde in sistem.Exemplu : procesele de intindere si de indoire.

                Disproportia dintre variatiile mici ale parametrilor la un moment dat si consecintele majore ale acestora indica caracterul de neliniaritate a sistemelor haotice .

                Al doilea principiu al termodinamicii prevede ca sistemele evolueaza astfel incat ordinea se dezvolta spre dezordine , iar complexitatea ia locul simplitatii . Privind in jurul nostrum observam ca:

·         Plantele cresc din seminte simple devenind entitati complexe

·         Ouale cellule singulare fertilizate cresc pana devin organism adulte complexe

·         Curentul electric care strabate un amestec de molecule simple produce substante chimice atat de complexe cum sunt aminoacizii

·         In ultimul milliard de ani viata a evoluat de la organisme unicelulare la forme foarte complexe

Sistemele care devin mai ordonate odata cu trecerea timpului si in care entropia scade se numesc sisteme auto-organizate . De exemplu plantele si animalele absorb energie de la soare sau energie chimica din alimente , folosesc aceasta energie si apoi cedeaza caldura mediului inconjurator prin evaporare , dezintegrare sau prin alte procese. Acest flux de energie permite sistemelor sa-si mentina sau chiar sa-si creasca ordinea la un grad inalt tinzand spre o entropie foarte scazuta .

        Entropia intregului sistem incluzand pamantul si soarele creste semnificativ permitand subsistemelor selectate sa-si scada entropia sis a devina mai ordonate. Al doilea principiu al termodinamicii nu este contrazis in ansamblu dar acesta trebuie aplicat sistemelor complexe isolate formate din subsisteme care interactioneaza si nu doar unu singur subsistem care nu este izolat.

        Fulgul de zapada din figura 1 este un exemplu minunat fulgul de nea este compus din molecule de apa. Daca apa ingheata miscarea aleatorie a moleculelor de apa este transformata intr-un cristal ordonat superior. Entropia moleculelor de apa scade cu certitudine dar apa nu ingheata ca un sistem izolat. Pentru ca aceasta sa inghete caldura trebuie sa fie transferata de la apa la aerul inconjurator. Entropia aerului creste mai mult decat scade entropia apei.Astfel entropia totala a sistemului apa+aer creste cand se formeaza cand se formeaza un fulg de zapada exact asa cum prevede al doilea principiu al termodinamicii.

 Un fulg de zapada este un aranjament superior ordonat de molecule de apa. Prin creerea unui fulg de zapada , entropia apei scade , dar al doilea principiu al termodinamicii nu este contrazis deoarece moleculele de apa nu formeaza un sistem izolat.

        Auto orgonizarea sistemelor are aplicatii importante in domenii variate , de la ecologie la stiinga computerelor si pana la inginerie aeronautica . Exemplu: Curgerea aerului in jurul unei aripi de avion provoaca turbulente la scara mare; curenti si vartejuri in urma lasata de avion. Formarea acestora afecteaza aerodinamica avionului si poate creea situatii neprevazute pentru aparatele de zbor . Vartejurile sunt structure ordonate la scara macroscopica dar acestea sunt produse din dezordine din ciocniri intamplatoare ale moleculelor de aer .

        In natura intalnim multe sisteme auto-organizate astfel in figura 2 este prezentata imaginea unei colonii de bacteria crescuta in conditii restrictive . Oare aceasta imagine este rezultatul doar a unor procese fizice sau reprezinta auto-organizarea si comunicarea la multe nivele a acestor sisteme .

Asemanator in botanica cum este cazul florii soarelui sau a unui con de pin , in ambele cazuri asezarea ordonata este asezata in spirala.

      In natură şi tehnică există sisteme a căror eoluţie în timp este deterministă,dar impredictibilă:geometria norilor,forma şi frecvenţa de apariţie a fulgerelor,declanşarea cutremurelor,etc.Asemenea fenomene depind de cauze,dar,au evoluţia sensibilă la condiţiile iniţiale: o mică modificare nerepetitivă a cauzei(denivelare,frecare,interacţiune locaă,etc.)produce o mare modificare a efectului,deci repetarea identică a acestora este imposibilă.Mici fluctuaţii ale interacţiunilor locale schimbă comportarea sistemului considerat şi fac dificilă sau chiar imposibilă predicţia.           Un sistem sau proces cu evoluţie neliniară,adică în care efectul nu este proporţional cu cauza,este descris printr-un set de ecuaţii neliniare.            Teoria haosului se ocupă cu studiul sistemelor dinamice neliniare. Conceptul haos se asociază impredictibilităţii şi nu dezordinii.      * Investigarea experimentaă a comportamentului haotic în sisteme fizice         Studiul unor siteme simple cu comportamentul haotic:  1.Căderea frunzelor şi a fulgilor sunt fenomene deterministe,dar impredictibile datorită fluctuaţiei interacţiunilor locale care schimbă necontrolat traiectoriile acestora.Forţele de frecare aleatorii fac imposibilă repetarea identică a unei evoluţii.                2.Să analizăm mişcarea prin aer a unui fulg plasat deasupra suprafeţei calde a unei plite.Mişcarea ascendentă de convecţie a aerului încălzit deasupra suprafeţei calde poate să imprime fulgului o mişcare ascendentă până la o înălţime la care forţa ascensională echilibrează forţa de greutate,apoi traiectoria fulgului devine un "dans" cu urcări şi coborâri,cu schimbări ale direcţiei de deplasare,impredictibile,diferite de fiecare dată la repetarea experimentului.                 *Evoluţia unor sisteme fizice concrete,întâlnite în practică,aflate departe de echilibru                Determinismul din mecanica clasică este rezultatul simplificărilor operate.În realitate,majoritatea sistemelor sunt neliniare şi nedeterministe,cu câteva cazuri particulare care pot fi considerate liniare.Metoda utilizată pentru descrierea fenomenelor fizice prin sisteme de ecuaţii liniare,pe care putem să le rezolvăm,ne permite să descriem doar aproximativ realitatea.În modele fizice introduse de Newton,Leibnitz şi Lapace,caracterul determinist al evoluţiei unui sistem fizic constă în faptul că starea viitoare a sistemului este univoc determinată de valorile variabilelor la un moment de timp(considerat iniţial) şi legea de evoluţie.              Cursul unui râu de munte este predictibil deoarece apa curge alegând drumul de minimă rezistenţă,dar traiectoriile moleculelor de apă sunt impredictibile.

REZUMAT:

Unele fenomene fizice guvernate de legi deterministe , care in principiu ar trebui sa se desfasoare intr-o maniera predictibila in practica devin impredictibile datorita sensibilitatii lor la conditiile initiale Sistemul haotic este local instabil si permite variatiei mici ale parametrilor sai care pot determina variatii mari oriunde in sistem Disproportia dintre variatiile mici ale parametrilor la un moment dat si consecintele majore ale acestora indica caracterul de neliniaritate a sistemelor haotice Sistemele care devin mai ordonate odata cu trecerea timpului in care entropia scade se numesc sisteme auto-organizate

https://www.youtube.com/watch?v=-MD7GNJByi8

Descrierea comportamentului haotic

Descrierea comportamentului haotic :

Comportamentul haotic a fost observat în laborator într-o varietate de sisteme incluzând: circuite electrice, lasere, reacții chimice oscilante, dinamica lichidelor, dispozitivele mecanice și magneto-mecanice.

Comportamentul haotic din natură cuprinde: dinamica sateliților în Sistemul Solar, evoluția în timp a câmpului magnetic al corpurilor ancestrale, creșterea populației în ecologie.

 Pentru ca un sistem să fie haotic, majoritatea oamenilor de știință sunt de acord ca acesta trebuie să îndeplinească trei reguli:

Să fie sensibil la condițiile inițiale;

Să se îmbine topologic;

Orbitele periodice să fie dense.

Spatiul fazelor :

Poincaré a definit ceea ce numim “spaţiul fazelor”, un spaţiu a cărui dimensiune corespunde ansamblului de variabile ce caracterizează sistemul la un moment dat (poziţii, viteze, etc.).

Starea sistemului la un moment dat, caracterizată printr-o serie de parametrii independenţi este reprezentat printr-un punct în acest spaţiu. 

 Spațiul fazelor, care este spațiul stărilor, poate avea orice număr de dimensiuni.

Numărul dimensiunilor necesare unui asfel de  spațiu al stărilor depinde de "gradele de libertate" ale sistemului fizic.

Exemplu:

Oscilatorul liniar simplu descris

in spatiul fazelor:

Atractorii : Acestia sunt forme geometrice ce caracterizează comportarea la distanță în spațiul fazelor.

Dacă un sistem tinde către o stare de echilibru (ex. oscilatorul amortizat), vom vedea că, indiferent care ar fi starea iniţială a sistemului, acesta va evolua astfel încât traiectoriile în spaţiul fazelor vor fi curbe ce converg către punctul de echilibru. Un astfel de punct se numeşte atractor.

Atractorii pot fi de 2 tipuri:

Clasici

Stranii

Atractori stranii: Un regim regulat devine neregulat sau turbulent ca urmare a actiunii atractorilor stranii. Atractorii în teoria haosului sunt ca influenta gravitatiei,seturi de valori spre care sistemul migreaza în timp, numiti si„insule de stabilitate”.

 Într-o formula, un atractor poate fi un singur punct fixat, o colectie de puncte, o orbita complexa sau un numar infinit de puncte. Atractorii pot fi asimilati lacurilor care aduna toate apele iesite dintru-un bazin determinat, sau pot fi centre de prelucrare care focalizeaza curentii de marfuri dintr-o anumita zona. Denumirea de straniu se datoreaza dificultatii de prezentare a atractorilor si aspectului lor curios. De regula,atractorii sunt fractali caracterizati printr-o structura geometrica complexa, neregulata.

Exemplu  atractor  straniu: Atracorul straniu Lorentz:

  Mulțimea de puncte care evoluează spre un atractor formează bazinul de atracție.

Bazinul de atractie:  mulțimea de puncte care evoluează spre un atractor.

   În cazul unui atractor clasic sistemul tinde spre o stare de echilibru stabil, iar in cazul unui atractor straniu starea spre care tinde sistemul este tot de echilibru dar acesta este într-o continuă schimbare.

Determinism si predictibilitate

Determinismul

Determinismul si predictibilitatea sunt aspecte ale modului de gandire al stiintei moderne. Spunem ca un fenomen care s-a petrecut este rezultatul sigur al unui ansamblu de cauze , si daca aceste cauze sunt prezente ,  fenomenul se va repeta in acelasi fel. Astfel, determinismul poate fi considerat un principiu al stiintei , principiu care afirma ca aceleasi cauze produc aceleasi fenomene . Asfel ,spus cauza este punctul de plecare al schimbarii . Acest principiu a fost statornicit dupa ce Isaac Newton , Laplace si ceilalti fizicieni care au urmat ca miscarea unui obiect se va petrece la fel daca conditiile sunt aceleasi .In conceptie determinista  nu pot aparea miracole misterioase sau evenimente intamplatoare.

       Conceptia determinista:

a)orice eveniment are loc fiind determinat de o cauza

b)starea Universului la un moment dat  impreuna cu legile naturii determina starea Universului  la un moment ulterior

c) daca avem suficiente date despre starea Universului la un moment dat, cu ajutorul legilor naturii si cu un computer de mare putere putem prevedea starea universului la orice moment ulterior

   In fizica se considera ca daca sunt cunoscute pozitiea si viteza initiala a unui punct material , atunci traiectoria si orice alte marimi caracteristice (impulsul,energia) vor fi bine determinate la orice moment ulterior.                                                                                              

Un exemplu simplu este cel  al aruncarii sub un unghi (sau cazul particular al caderii corpurilor asupra pamantului ).

Mecanica ne furnizeaza o serie de formule , pe baza legilor de miscare , care ne permit sa spunem la orice moment ulterior unde se va afla obiectul (punctul material) . Folosim in mod instinctiv acest principiu la oricare din jocurile care presunpun aruncarea unei mingi (de fotbal, volei ,tenis, biliard,popice etc) dar si la atletism sau la alte activitati practice .In toate aceste cazuri invatam prin antrenament si practica indelungata sa controlam pozitia noastra  initiala , astfel incat sa producem miscarea perfect de fiecare data , adica sa fie controlabila ( sau predictibila ).

In Termodinamica am invatat ca un corp rece si unul cald isi cedeaza caldura reciproc pana ajung la aceeasi temperatura. Transferul de energie de la un corp cald la unul rece  este un proces inversibil cu un singur sens.(ex: amestecarea laptelui cu cafeaua rezultand cafea  cu lapte; amestecul de culori etc).

Fizicienii si inginerii utilieaza o variabila de stare numita entropie pentru a masura cantitatea de dezordine dintr-un sistem(entrpia  unui sistem izolat nu scade niciodata ,creste pna ajunge la echilibru  iar apoi ramane constanta).

 Conform principiului al doilea al termodinamicii  sistemele fizice evolueaza  spre stari de echilibru cu entropia mai mare, adica cu o dezordine interna scazuta.

         Determinismul poate fi examinat numai cu referire la cauze fizice care isi produc cu necesitate efectele. Spre exemplu putem incerca sa aplicam principiul determinismului la viata noastra cea de toate zilele. Ne conducem in actiunile noastre pe principiul determinismului: facem ceva care sa fie cauza a unui eveniment dorit , sau care sa preintampine un eveniment nedorit . Suntem  convinsi intr-o masura destul de mare ca o serie de actiuni ale noastre vor fi cauze ale unor evenimente ulterioare . Generalizand acesta afirmatie , am putea spune ca intreaga  noastra viata poate fi determinate de cauze  mai mult sau mai putin cunoscute .

In conceperea unui model se face distinctie intre parametri fizici care influenteaza in mod  esential  evolutia sistemului fizic si parametri a caror influenta poate fi neglijata.Un model reprezinta o reducere a numarului de parametri studiati ceea ce se realizeaza prin ipostaze zimplificatoare. Orice model este o interferenta intre realitate si mintea omeneasca.

            Este o presupunere filozofica conform caruia orice actiune este determinata de un lant neintrerupt de actiuni precedente.

            Filozofii care au studiat determinismul au fost: William James, Pierre-Simon Laplace, Arthur Schopenhauer, Omar Khayyám, David Hume, Thomas Hobbes, Benedict de Spinoza, Gottfried Leibniz, Immanuel Kant, Paul Henri Thiry, Baron d'Holbach si mai recent, Daniel Dennett, John Searle, Michelle Kozenieki si Ted Honderich.

                            Newton                     Laplace

  Determinismul este conceptul,introdus de I.Newton şi susţinut de Laplace,care susţine că putem determina starea unui sistem la un moment dat dacă se cunoaşte starea acestuia anteriora,considerata iniţiala,şi legea de evoluţie a acestuia. Dacă sunt cunoscute condiţiile iniţiale şi legea de evoluţie,atunci evoluţia sistemului este determinată prin rezolvarea problemelor de mecanică.Cercetarea categoriilor care constata si explica caracterul determinat al proceselor reale (materiale si spirituale sau rezultind din impletirea materialului cu spiritualul) si mecanismele determinarii ne permite sa privim asupra teoriei determinismului, gindita sub doua aspecte:

> ca determinism universal, caruia i se inglobeaza determinismele partiale ale diferitelor nivele ale existentei

> din punctul de vedere ale determinismelor complexe, proprii fiecarui nivel de structurare a existentei in parte

Se poate vorbi de aceea, la nivelul actual al cercetarilor, si de un determinism global, caracteristic fiecarui nivel de organizare a existentei in vesnica devenire, si apoi de corelatiile dintre ele, semnificative mai ales pentru nivelele superioare, inglobatoare.

Cele mai esentiale verigi ale explicarii deterministe le reprezinta nivelul fizic (incluzind oarecum pe cel chimic), nivelul biologic si cel al activitatii umane, in care se desprinde raportarea omului al determinismul global, cosmic si includerea sa in determinismul cel mai complex din cate ne-a fost dat sa cunoastem, determinismul social.

In evolutia gandirii fizice, teoria electromagnetismului a intarit ideea materialitatii relatiei cauzale prin reliefarea actiunii din aproape in aproape, iar teoria restrinsa a relativitatii a reliefat dependenta efectului de cauza si, conform celor mai raspandite pareri, a anterioritatii cauzei in raport cu efectul. Dar ambele teorii ramaneau compatibile, in fond, cu tezele cauzalitatii liniare, a necesitatii in succesiune si in repetarea, care tine de domeniul existentei

Teorie formulata de J.-B. Lamarck in 1809, dupa care evolutia vietuitoarelor  se schimba datorita unei tendinte launtrice de viata de influenta mediului, ca urmare a actiunii legilor potrivit carora nevoia creeaza organul, iar insusirile dobindite sub influenta mediului se transmite ereditar.

Predictibilitate

Pe baza determinismul exprimat prin legile naturii  si pe care oamenii l-au deslusit in decursul istorie , ca urmare a fenomenelor naturale, putem face o predictie a evolutiei ulterioare a unui sistem fizic.Pana in cele din urma aceasta capacitate de predictie este si principala utilitate si valoare a stiintei.

          Dezvoltarea fizicii moderne datoreaza  faptul ca a inteles ca verificarea experimentala a afirmatiilor este fundamentala. Printre precursorii putem enumera pe Galileo Galilei (1564-1642) si R. Descartes (1596-1650)

  Suntem obisnuiti chiar daca nu ne dam seama intotdeauna , ca explicatiile date de fizica  sau de alte stiinte  sa se bazeze pe modelele "construite"  de noi.  Cu alte cuvinte, teoriile noastre surprind realitatea fizica doar cu o oarecare limitate de neglijarea de obicei , al unor aspecte considerate neesentiale .

Determinismul a fost legat istoric de predictie astfel ca legile miscarii planetelor devin exemplu semnificativ de determinism si predictibilitate.Laplace crede ca"daca la un moment dat ar exista o inteligenta care ar putea intelege toate fortele care actioneaza in natura  si pozitiile tuturor lucrurilor care o compun, atunci nimic nu ar mai fi incert iar viitorul si tecutul ar aparea in fata ochilor sai".

CADEREA UNUI CORP

       Caderea corpurilor este studiata la mecanica de foarte mult timp  si cu totii cunoastem relatia faimoasa a lui Galilei privind caderea corpurilor:

                   v*v=2*h*g        unde,

v=viteza

g=acceleratia gravitationala

h=inaltimea

        In cuvinte am putea spune ca daca dorim ca un obiect sa fie aruncat astfel incat sa ajunga pana la inaltimea h , atunci  trebuie sa-i imprimam o viteza care se calculeaza din relatia de mai sus. Conditia initiala pentru aceasta problema     va fi deci viteza initiala necesara unui obiect pentru a ajunge la inaltime h.

 

 Turnul din Pisa, Italia,  unde se spune ca Galileo Galilei   ar fi facut experimentele privind caderea corpurilor in camp gravitational si un timbru care evoca pe marele om de stiinta .

    

Introducere-Teoria haosului

Numele de Teorie a Haosului vine de la faptul ca in sistemele descrise de ea exista o dezordine aparenta. Teoria haosului este un domeniu de studiu in matematica, fizica, economie si filozofie si se ocupa cu studierea comportamentului sistemelor dinamice care sunt foarte sensibile fata de conditiile initiale. Aceasta sensibilitate mai este numita si “efectul fluturelui”.

Ce este  Teoria  Haosului?
Teoria Haosului ne arata ca natura lucreaza dupa anumite tipare care sunt suma mai multor impulsuri marunte.Teoria Haosului afirma ca  mici variatii ale unor parametri ai unui sistem complex  pot duce la rezultate complet diferite.

Cine a inventat Teoria Haosului?
Aceasta teorie il are ca parinte pe matematicianul si meteorologul american  Edward Lorentz.

In 1960, Edward Lorentz a creat un model meteorologic pe unul din calculatoarele Universitatii din Massachusetts. Modelul meteorologic al lui Lorentz era compus dintr-o serie larga de formule complexe. Colegii si studentii au ramas uimiti in fata modelului, deoarece acesta nu parea sa repete nici o secventa, era cat se poate de asemanator cu vremea reala. Unii oameni chiar au sperat ca daca vor fi introduse niste date meteorologice care sa fie in concordanta cu vremea de afara, modelul s-ar transforma intr-un adevarat profet.
Intr-o zi, Lorentz a schimbat modul de lucru al modelului. A lasat programul sa ruleze anumiti parametri in baza carora sa genereze un anumit tipar meteorologic pentru a putea sa observe mai bine finalitatea procesului. Dar in loc sa lase programul sa ruleze cu setarile initiale si sa calculeze rezultatul, Lorentz a decis sa opreasca si apoi sa porneasca programul de la jumatatea secventei de rulare prin introducerea valorilor pe care programul le calculase si le tiparise mai devreme. Dar imprimanta putea sa tipareasca doar ultimele 3 zecimale. Deci in loc sa introduca exact aceleasi numere cu 6 zecimale calculate de masina (care tineau loc de vant, soare, etc.), Lorentz a introdus numere cu doar 3 zecimale. Aceasta inexactitate aparent minora a fost amplificata si a dat peste cap intreg sistemul. Aceasta exactitate este foarte importanta. Vremea reprezinta comportamentul tuturor moleculelor care formeaza atmosfera. Principiul Incertitudinii ne impiedica sa localizam cu exactitate o particula, acesta este motivul pentru care previziunile meteorologice nu sunt valabile mai mult de 2-3 zile, si totodata acesta e motivul pentru care ele sunt simple aproximari ale situatiei din acel moment. Prin prisma ideilor conventionale ale acelei vremi, Lorentz nu facuse nimic gresit. El ar fi trebuit sa obtina un rezultat destul de asemanator cu cel precedent. Un cercetator se poate considera norocos daca masuratorile sale au o acuratete de 3 zecimale. Si e evident ca cea de a 5-a si cea de 6-a zecimala sunt imposibil de masurat prin metode rezonabile si totodata ca aceste valori atat de mici nu au cum sa influenteze rezultatul experimentului. Lorentz a demonstrat ca aceasta idee e gresita.

https://www.youtube.com/watch?v=sDQXqDuebqU

Teoria haosului sau teoria sistemelor complexe este o ramură a matematicii și fizicii moderne care descrie comportamentul anumitor sisteme dinamice neliniare, a acelor sisteme care prezintă fenomenul de instabilitate numit sensibilitate față de condițiile inițiale, motiv pentru care comportamentul lor pe termen relativ lung (deși se conformează legilor deterministe) este imprevizibil, adică aparent haotic (de unde și denumirea teoriei).
Teoria haosului a fost formulata de Edward Lorenz în 1960. Savantul spunea, "Un fenomen care pare a se desfășura la întâmplare, are de fapt un element de regularitate ce ar putea fi descris matematic." In termeni mai simpli, există o ordine ascunsă în orice evoluție aparent haotică a oricărui sistem dinamic complex.
Numele de Teorie a Haosului vine de la faptul ca în sistemele descrise de aceasta există o dezordine aparentă. Teoria haosului este un domeniu de studiu în matematică, fizică, economie și filozofie și se ocupă cu studierea comportamentului sistemelor dinamice care sunt foarte sensibile față de conditiile inițiale. Aceasta sensibilitate mai este numita și efectul fluturelui. Mici modificări ale condițiilor inițiale (cum ar fi rotunjirea numerelor cu care se lucrează) au ca efect rezultate haotice, facând ca anticiparea efectelor pe termen lung sa fie imposibilă. Acest lucru se întamplă chiar daca sistemele sunt deterministe, ceea ce înseamna că comportamentul lor viitor este determinat în întregime de condițiile inițiale, fără intervenția altor elemente aleatorii. Cu alte cuvinte, natura deterministă a acestor sisteme nu le face predictibile. Acest comportament este cunoscut sub denumirea de “haos determinist”.
Comportamentul haotic a fost observat în laborator pe o varietate de sisteme care include circuite electrice, lasere, reacții chimice oscilante, dinamica fluidelor și aparate magneto-mecanice și mecanice, dar și în simulări virtuale ale proceselor haotice. Una dintre aplicațiile cele mai de succes a teoriei haosului este în ecologie, unde sistemele dinamice de genul modelului lui Ricker au fost folosite pentru a arata cum creșterea populației în raport cu suprafața ocupată duce la o dinamica haotică
Sistemele complexe sunt sistemele care conțin atât de multe elemente în mișcare încât e nevoie de un calculator care să calculeze toate posibilitățile de interacțiune. Acesta e motivul pentru care Teoria Haosului nu avea cum sa apara inainte de sfârșitul secolului al XX-lea. Mai există un alt motiv pentru care aceasta teorie a aparut atât de recent, acel motiv e Revoluția Mecanicii Cuantice și felul în care a terminat Era Deterministă.
Până la apariția mecanicii cuantice, oamenii credeau că fenomenele sunt cauzate de alte fenomene și că tot ce se duce în sus trebuie să vină în jos, și numai prin descoperirea și etichetarea fiecărei particule din Univers am putea să cunoaștem tot ce urma să se întâmple. Sisteme întregi de gândire au fost bazate pe aceasta idee și din nefericire încă sunt.
Atunci când Sigmund Freud a inventat psihanaliza, el a pornit de la ideea ca problemele mentale sunt rezultatul unor traume din trecut. Regresia permitea pacientului să își străbată amintirile, să găsească și să înfrunte problema. Toata această idee se baza pe o cauză și un efect liniar.
Teoria Haosului ne arată că natura lucrează după anumite tipare care sunt suma mai multor impulsuri mărunte.


În 1960, Edward Lorentz a creat un model meteorologic pe unul din calculatoarele Universității din Massachusetts. Modelul meteorologic al lui Lorentz era compus dintr-o serie larga de formule complexe. Colegii și studenții au rămas uimiți în fața modelului, deoarece acesta nu parea să repete nici o secvență, era cât se poate de asemănător cu vremea reală. Unii oameni chiar au sperat că dacă vor fi introduse niște date meteorologice, care să fie în concordanță cu vremea de afară, modelul s-ar transforma într-un adevărat profet.

Într-o zi, Lorentz a schimbat modul de lucru al modelului. A lăsat programul să ruleze anumiți parametri în baza cărora să genereze un anumit tipar meteorologic pentru a putea să observe mai bine finalitatea procesului. Dar în loc să lase programul să ruleze cu setările inițiale și să calculeze rezultatul, Lorentz a decis să oprească și apoi să pornească programul de la jumătatea secventei de rulare prin introducerea valorilor pe care programul le calculase mai devreme si le tipărise. Dar imprimanta putea să tipărească doar ultimele 3 zecimale. Deci în loc să introducă exact aceleași numere cu 6 zecimale calculate de masina (care tineau loc de vant, soare, etc.), Lorentz a introdus numere cu doar 3 zecimale. Această inexactitate aparent minoră a fost amplificată și a dat peste cap întreg sistemul. Această exactitate este foarte importantă. Vremea reprezintă comportamentul tuturor moleculelor care formeaza atmosfera. Principiul Incertitudinii ne impiedică să localizăm cu exactitate o particulă, acesta este motivul pentru care previziunile meteorologice nu sunt valabile mai mult de 2-3 zile, și totodată acesta e motivul pentru care ele sunt simple aproximari ale situației din acel moment. Prin prisma ideilor convenționale ale acelei vremi, Lorenz nu făcuse nimic gresit. El ar fi trebuit să obțină un rezultat destul de asemănător cu cel precedent. Un cercetător se poate considera norocos dacă măsurătorile sale au o acuratețe de 3 zecimale. Și e evident că cea de a 5-a si cea de 6-a zecimala sunt imposibil de măsurat prin metode rezonabile și totodată că aceste valori atât de mici nu au cum să influențeze rezultatul experimentului. Lorentz a demonstrat că această idee e greșită.